[행렬] 행렬의 기초

수업출처) 숙명여자대학교 통계학과 '통계수학' 수업, 윤재은 교수님

 

 

1. 행렬

: 행과 열로 구분지어진 숫자들의 단순한 직사각형 배열

 

A의 (i, j)성분은 a𝑖𝑗로 표시

 

행렬의 표시는 위와 같이 원소를 일일히 보여주는 방식과 아래와 같이 (i, j) 성분에 대한 식을 제시하는 방식이 있다.

a𝑖𝑗 = i + j2 - 1, i = 1, 2, j = 1, 2

 

 

2. 기본이 되는 몇가지 행렬

 

2-1. 정방행렬 : 행의 수와 열의 수가 같은 행렬

2-2. 영행렬 : 원소가 전부 0인 행렬 (Φ)

2-3. 대각행렬 : 정방행렬에서 모든 비대각원소가 0인 행렬

2-4. 단위행렬 (항등행렬) (E or I) : 대각행렬에서 대각원소의 값이 전부 1인 행렬

2-5. 전치행렬 : 행렬 A의 행과 열을 서로 바꾸어 놓은 행렬 (A' or AT)

2-6. 대칭행렬 : A = AT를 만족하는 정방행렬, 주대각원소를 중심으로 원소들이 대칭구조를 갖고 있는 정방행렬

 

3. 벡터 : 한 개의 열 또는 행으로 이루어진 행렬

 

3-1. 열벡터 (x) : n x 1 인 행렬 

3-2. 행벡터 (xT) : 1 x m 인 행렬 

3-3. 영벡터 : 모든 원소가 0인 벡터

 

특징

- 기본적으로 행렬은 열벡터로 표현한다.

- m차원 열벡터와 n차원 행벡터의 곱의 결과는 m x n 행렬이다.

- n차원 행벡터와 n차원 열벡터의 곱의 결과는 실수이다. (스칼라)

- xTy = yTx 가 성립하며, x · y = xTy = yTx 를 두 벡터의 내적이라고 정의한다.

 

4. 행렬의 연산

4-1. 두 행렬 A, B가 같을 조건

 

• A와 B의 크기가 같다.
• 같은 위치에 있는 원소들이 모두 동일하다.

 

4-2. 행렬의 합과 차

 

조건 : 두 행렬이 같은 크기여야 한다.

 

A (m x n) = (a𝑖𝑗), B (m x n) = (b𝑖𝑗) 에 대해

 

- A + B = (a𝑖𝑗 + b𝑖𝑗)

- cA = (ca𝑖𝑗)

- (-1)A = -A

- A - B = (a𝑖𝑗 - b𝑖𝑗)

 

Th 1.2 > (A + B)T = AT + BT

 

4-3. 행렬의 곱

 

조건 : AB가 정의되기 위해서는 A의 열의 수와 B의 행의 수가 같아야 한다.

ex) A (2 x 3), B (3 x 5) → AB (2 x 5)

 

AB의 𝑖𝑗 원소는 A의 𝑖번째 행과 B의 𝑗번째 열의 곱으로 계산한다.

특징

- AB ≠ BA 

- AB가 존재하더라도 BA가 존재하지 않을 수 있다.

- AB = O 임에도 불구하고 A ≠ O 이고 B ≠ O 인 행렬 A, B가 존재한다.

 

- AB의 (𝑖, 𝑗) 원소는 A의 𝑖번째 행을 나타내는 벡터와 B의 𝑗 번째 열을 나타내는 벡터의 내적이다.

 

 

Th 1.3 > 행렬 A, B, C가 아래 연산이 성립되는 크기를 가질 때 다음의 규칙이 성립한다.

> A + B = B + A

> A + (B + C) = (A + B) + C

> A(BC) = (AB)C

> A(B + C) = AB + AC

> (A + B)C = AB + BC

 

Th 1.4

> (AB)T = BT AT 

> (ABC)T = CT BT AT

 

Th 1.5 > ATA = O 또는 AAT = O 이면 A = O

 

5. 역행렬

: 정방행렬 A에서 AB = BA = I 가 성립되는 정방행렬 B가 존재하면 B를 A의 역행렬이라 하고, B = A(−1) 이라고 표시한다.

 

특징

- 모든 행렬이 역행렬을 갖고 있는 것은 아니며, 존재하면 유일하다.

- AB = I 가 성립하면 BA = I 도 성립한다.