[행렬] 행렬식

수업출처) 숙명여자대학교 통계학과 '통계수학' 수업, 윤재은 교수님

 

1. 행렬식

: 정사각행렬에 실수값을 대응시키는 함수

 

1-1. 1차원 행렬 행렬식 

det(a11) = a11

 

1-2. 2차원 행렬 행렬식

1-3. n차원 행렬의 행렬식

 

소행렬식과 여인자를 활용하여 라플라스 전개를 통해 구한다.

- 소행렬식 : A의 𝑖번째 행과 𝑗번째 열을 지운 뒤에 남는 행렬을 M𝑖𝑗라고 하면, 이것의 행렬식 det(M𝑖𝑗)를 a𝑖𝑗의 소행렬식이라고 한다.

- 여인자 : (-1)^(𝑖𝑗) |M𝑖𝑗| 를 a𝑖𝑗의 여인자라고 한다.

 

 

Th2.1 > 행렬식의 라플라스 전개

행렬 A (n x n) = (a𝑖𝑗)의 행렬식은 다음과 같이 계산될 수 있다.

 

> (𝑖번째 행의 각 원소 (a𝑖𝑗))와 그 원소의 여인자 ((-1)^(𝑖𝑗) |M𝑖𝑗|) 를 곱해서 더한 것

> (𝑗번째 행의 각 원소 (a𝑖𝑗)와 그 원소의 여인자 ((-1)^(𝑖𝑗) |M𝑖𝑗|) 를 곱해서 더한 것

 

둘 중 하나를 선택해서 계산하면 되고, 어떤 행이나 열을 택해서 라플라스 전개로 행렬식을 구해도 같은 값이 나온다.

따라서 계산이 쉬운 행이나 열을 택하면 되고, 특히 원소값이 0인 원소가 많은 행이나 열을 택하는 것이 좋다.

 

2. 삼각행렬 

- 상삼각행렬 : 주대각선을 기준으로 대각선 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 정사각행렬

- 하삼각행렬 : 주대각선을 기준으로 대각선 위쪽 항들의 값이 모두 0인 정사각행렬

 

Th2.2 > 행렬 A (n x n)가 삼각행렬일 때, A의 행렬식은 대각원소들의 곱이다.

det(A) = a11 x a22 x ... x ann

 

Th2.3 > 대각행렬의 행렬식은 대각원소들의 곱이다.

대각행렬은 상삼각행렬이면서 하삼각행렬이다. 따라서 Th2.2가 성립한다.

 

3. 행렬식의 성질

 

Th2.4 > 전치행렬 AT의 행렬식은 원래 행렬 A의 행렬식과 같다.

det(A) = det(AT)

전치해도 마주보는 값은 동일하기 때문이다.

 

Th2.5 > 행렬 A가 0만으로 이루어진 행 또는 열을 갖고 있으면 det(A) = 0이다.

 

<행렬의 기본 연산>

 

1) 두 행을 서로 교환

2) 한 행에 0이 아닌 실수를 곱한다.

3) 한 행에 0이 아닌 실수를 곱하여 다른 행에 더한다.

(행을 열로 바꾼 것도 기본연산)

 

Th2.6 (행을 열로 바꾸어도 모두 성립)

> A의 두 행을 교환하여 행렬 B 를 얻었을 때  det(B) = -det(A)   → 1연산

> A의 한 행에 상수 c를 곱하여 B를 얻었을 때  det(B) = c det(A)  → 2연산

> A의 한 행에 어떤 상수를 곱하여 다른 행에 더해서 B를 얻었을 때  det(B) = det(A) → 3연산

 

Th2.7 > 행렬 A의 두 행(열)이 같거나 한 행(열)이 다른 행의 상수배이면 det(A) = 0이다.

 

행렬식을 구할 때 기본연산을 활용하여 원소값이 0인 원소를 많이 만들거나 삼각행렬 / 대각행렬을 만드는 것이 유리하다.

 

Th2.8 > 행렬 A (n x n)와 B(n x n)가 있을 때, det(AB) = det(A) det(B) 이다.