[행렬] 행렬의 rank

수업 출처) 숙명여자대학교 통계학과 "통계수학" 수업, 윤재은 교수님

 

1. 행벡터와 열벡터

 

A(nxm)

 

- 행벡터 : A의 행에서 만들어지는 벡터 → n개 만들 수 있다.

  r₁' = (a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₘ)

  r₂' = (a₂₁, a₂₂, ..., a₂ₘ)

...

  rₙ' = (aₙ₁, aₙ₂, ..., aₙₘ)

 

* A의 행에서 얻어지는 벡터 r₁, r₂, ..., rₙ를 선택하여 선형독립이 되도록 최대한 모았을 때 벡터의 개수

 

- 열벡터 : A의 열에서 만들어지는 벡터 → m개 만들 수 있다.

  c₁ = (c₁₁, c₂₁, ..., cₙ₁)'

  c₂ = (c₁₂, c₂₂, ..., cₙ₂)'

...

  cₘ = (c₁ₘ, c₂ₘ, ..., cₙₘ)'

 

* A의 열에서 얻어지는 벡터  c₁, ..., cₘ를 선택하여 선형도립이 되도록 최대한 모앗을 때 벡터의 개수

 

2. rank

- 모든 행렬에서 계산 가능

 

Th6.3 > 임의의 행렬 A(mxn)에서 다음 두 수는 동일하다.

    - 행으로 만든 벡터를 선택하여 선형독립이 되도록 최대한 모았을 때 벡터의 수

    - 열로 만든 벡터를 선택하여 선형독립이 되도록 최대한 모았을 대 벡터의 수

 

- 그 수를 행렬 A의 rank로 정의

 

3. rank 성질

 

- rank(A)는 양의 정수이며, 영행렬의 rank는 0으로 정의한다.

- rank(Amxn) ≤ min(m, n)

 

- rank(Anxn) = n : 최대계수를 갖는다. → A가 정칙행렬

- rank(Anxn) < n : 최대계수를 갖는지 않다. → A가 비정칙행렬

 

Th6.4 > rank(A) = rank(A')

= rank(A'A) = rank

 

Th6.5 > rank(AB) ≤ min { rank(A), rank(B) }