[행렬] 벡터의 선형독립과 내적

수업출처) 숙명여자대학교 통계학과 '통계수학' 수업, 윤재은 교수님

 

1. n차원 벡터, 벡터합, 내적

 

- 스칼라 : 크기만 있고 방향을 가지지 않는 양

- 벡터 : 크기와 방향 모두 가지고 있는 양

 

** ℝⁿ 의 두 벡터 x = (x1, x2, ..., xn)' 과 y = (y1, y2, ..., yn)' 의 내적은

x · y = Σ x𝑖 y𝑖 = x1y1 + ... + xnyn = xTy = yTx

 

** 벡터 x = (x1, x2, ..., xn)'의 길이 (노음, norm)은 ||x||로 표시하고, ||x|| = √(x · x) = √(Σx𝑖²) 이다.

 

** 두 벡터 x = (x1, x2, ..., xn)' 과 y = (y1, y2, ..., yn)' 사이의 거리

d(x, y) = ||x - y|| = √(x - y) (x - y) = √(Σ(x𝑖 - y𝑖)²)

 

** 내적의 기하학적 의미 x · y = ||x|| ||y|| cosθ

 

** x · y = 0 이면 두 벡터는 직교 (x ㅗ y)

 

** 두 벡터가 이루는 각을 θ라고 하면 cosθ = x · y / ||x|| ||y||

 

** 임의의 n차원 벡터에 대해 다음이 성립한다. <x, y> = x · y

> <x, y>² ≤ <x, x> <y, y>

> ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

 

2. 선형독립과 선형종속

 

: x1, x2, ..., xm이 n차원 벡터들이며, a1, a2, ..., am 이 스칼라일 때

u = a1 x1 + ... + am xm 형태의 합을 x1, x2, ..., xm 의 선형결합 이라고 한다.

 

어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 얻어질 수 있는지 규명하는 것이 중요하다.

 

ex) 3차원 벡터

 

x1 = (3, 0, 1)', x2 = (2, -1, 3)', x3 = (5, 0, 4)' 의 선형결합으로 y = (1, 3, -2)' 표현하면

y = (-1) x1 + (-3) x2 + 2 x3

 

벡터들의 집합 S = {x1, x2, ..., xm}에서 a1 x1 + ... + am xm = 0 을 만족하는 a𝑖 들의 값이 a1 = a2 = ... = 0만 존재한다면 S는 선형독립이라고 한다.

만약 적어도 하나는 0이 아닌 a𝑖 가 존재한다면 S는 선형종속이라고 한다.

 

즉, S가 선형독립이면 어떠한 벡터도 다른 벡터들의 선형결합으로 표시될 수 없다. 

S가 선형종속이면 어느 한 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 표시될 수 있다.

 

이를 규명할 때에는 a1 x1 + ... + am xm = 0 형태로 놓고 a𝑖에 대해 연립방정식을 풀면 된다.

a𝑖가 모두 0이 나오면 선형독립인 것이고, a𝑖끼리의 관계식이 나온다면 선형종속인 것이다.

 

Th4.1 > 두 개 이상의 벡터로 구성된 벡터 집합 S = {x1, x2, ..., xm} 이

> 선형종속이기 위한 필요충분조건은 S에 속하는 벡터 중 적어도 하나의 벡터가 다른 벡터의 선형결합으로 표현 가능한 것이다.

> 선형독립이기 위한 필요충분조건은 S에 속하는 어떤 벡터도 다른 벡터의 선형결합으로 표현될 수 없는 것이다.

 

Th4.2 > 두 벡터만을 갖는 집합이 선형종속이기 위한 필요충분조건은 적어도 이들 벡터 중 하나가 다른 벡터의 실수배로 되는 것이다.

 

* n차원 벡터를 선형독립이 유지되도록 모았을 때 최대한 모을 수 있는 개수는 n개이다.

 

* n차원 벡터를 n+1개 이상 모으면 무조건 선형종속이 된다.

 

3. 벡터공간 

 

V 를 벡터들을 모아놓은 집합이라고 할 때, V의 모든 원소 x, y에 대해 다음의 두 성질이 만족하면 V를 벡터공간이라고 한다.

(v1)  x ∈ V, y ∈ V → x + y ∈ V      : 덧셈에 대해 닫혀있다

(v2)  x ∈ V → ax ∈ V                     : 곱셈에 대해 닫혀있다

 

ex) V = {(x, y, z) : x + y + z = 0} 

 

(v1)  V1 = (x1, y1, z1)' ∈ V, V2 = (x2, y2, z2)' ∈ V

V1 + V2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)'

(x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 ∈ V

 

(v2) a(x1 + y1 + z1) = 0 ∈ V

 

벡터공간 V = R³의 임의의 원소 z = (z₁ z₂ z₃)T가 x₁ x₂ ·x₃

 

벡터공간을 생성하면서 선형독립인 벡터들의 모임을 "기저"라고 한다. 

벡터공간의 기저는 유일하지 않다.