gnuykob_sw

수업 출처) 숙명여자대학교 통계학과 "통계수학"수업, 윤재은 교수님

1. 직교벡터

두 n차원 벡터 x, y에 대해서 x · y = 0일 때, x와 y는 서로 수직이다.

단위벡터는 벡터를 벡터의 노음(길이)으로 나눔으로써 만들 수 있다.

norm = ||x|| = √(x ·x)

단위벡터 z = 1/||x|| x

* 직교집합 : n차원 벡터 집합 S = {x₁, x₂, ..., xₚ} 에 속해있는 임의의 두 벡터가 서로 직교일 때,

즉 모든 𝑖, 𝑗에 대해서 x𝑖' x𝑗 = 0 일 때, S를 직교집합이라고 한다.

* 정규직교집합 : 직교집합 S에 속하는 모든 벡터가 단위벡터일 대,

즉 ||x𝑖|| = 1일 때 S를 정규직교집합이라고 한다.

- (ex) S = {(1 0 0)T, (0 1 0)T, (0 0 1)T}

Th5.1 > 영벡터가 아닌 n차원 벡터 x₁, x₂, ..., xₚ 가 직교집합이면 이 벡터집합은 선형독립이다.

pf) a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₚxₚ = 0

양 변에 x₁ 을 곱하면

a₁x₁·x₁ + a₂x₂·x₁+ ... + aₚxₚ·x₁ = 0

직교집합이기 때문에 x₁·x𝑖 = 0

따라서 a₁, a₂, ...., aₚ = 0 -> 선형독립

* 직교행렬 : 정규직교 열들로 구성된 정방행렬

2. 정사영

p = ka

b - p ㅗ a

(b - p) · a = 0

(b - ka) · a = 0

b · a - ka · a = 0

k = b · a / a · a

∴ p = (b · a / a · a) · a

* 벡터 b의 평면 V 위로의 정사영 p

( A = (a₁ a₂)T )

TH5.3 > 선형독립인 a₁ , ..., aₚ 에 의해 생성되는 벡터공간을 V라고 할 때, 벡터 b의 V로의 정사영 p는 p = A (A'A)⁻¹ A' b 을 만족한다.