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수업출처) 숙명여자대학교 통계학과 '통계수학' 수업, 윤재은 교수님

1. 역행렬

: 정방행렬 A 에 대해서 AB = BA = I 를 만족하는 정방행렬 B, A⁻¹로 표시

역행렬이 존재하기 위한 조건은 A가 정방행렬이면서 det(A) ≠ 0이어야 한다.

* 2차 정방행렬 역행렬 구하는 방법

A = [a b; c d]

|A| = ad - bc

A⁻¹ = 1 / (ad - bc) [d -b; -c a]

2. 역행렬 성질

Th3.1 > 정방행렬 A의 역행렬이 존재하는 경우 그 역행렬은 유일하다.

Th3.2 > A의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건은 |A| ≠ 0이다.

Th3.3 > A가 가역행렬이면 A⁻¹ 역시 가역이며 (A⁻¹)⁻¹ = A 이다.

** 가역 = 정칙 = 역행렬 존재

Th3.4 > (A⁻¹)T = (AT)⁻¹

Th3.5 > A와 B가 각각 정칙이면 AB 역시 정칙이며 다음이 성립한다.

> (AB)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹

> (ABC)⁻¹ = C⁻¹ B⁻¹ A⁻¹

Th3.6

> A가 가역행렬일 때 kA도 가역행렬이고 (kA)⁻¹ = 1/k A⁻¹ 이다.

> A가 가역행렬일 때 Aⁿ 도 가역행렬이고, (Aⁿ)⁻¹ = (A⁻¹)ⁿ 이다.

Th3.7> A가 정칙일 때, PA = QA 이면 P = Q 이다.

Th3.8 > Ax = b 에서 A가 정칙이면 x = A⁻¹ b 이다.

→ 연립방정식의 풀이에 활용할 수 있음

3. 행렬의 분할

: 행렬을 블록화하여 간단히 나타낼 수 있다.

* 분할행렬의 전치행렬은 각각의 분할된 행렬을 전치한 것과 같다.

* 분할행렬의 곱

수업출처) 숙명여자대학교 통계학과 '통계수학' 수업, 윤재은 교수님

1. 행렬식

: 정사각행렬에 실수값을 대응시키는 함수

1-1. 1차원 행렬 행렬식 

det(a11) = a11

1-2. 2차원 행렬 행렬식

1-3. n차원 행렬의 행렬식

소행렬식과 여인자를 활용하여 라플라스 전개를 통해 구한다.

- 소행렬식 : A의 𝑖번째 행과 𝑗번째 열을 지운 뒤에 남는 행렬을 M𝑖𝑗라고 하면, 이것의 행렬식 det(M𝑖𝑗)를 a𝑖𝑗의 소행렬식이라고 한다.

- 여인자 : (-1)^(𝑖𝑗) |M𝑖𝑗| 를 a𝑖𝑗의 여인자라고 한다.

Th2.1 > 행렬식의 라플라스 전개

행렬 A (n x n) = (a𝑖𝑗)의 행렬식은 다음과 같이 계산될 수 있다.

> (𝑖번째 행의 각 원소 (a𝑖𝑗))와 그 원소의 여인자 ((-1)^(𝑖𝑗) |M𝑖𝑗|) 를 곱해서 더한 것

> (𝑗번째 행의 각 원소 (a𝑖𝑗)와 그 원소의 여인자 ((-1)^(𝑖𝑗) |M𝑖𝑗|) 를 곱해서 더한 것

둘 중 하나를 선택해서 계산하면 되고, 어떤 행이나 열을 택해서 라플라스 전개로 행렬식을 구해도 같은 값이 나온다.

따라서 계산이 쉬운 행이나 열을 택하면 되고, 특히 원소값이 0인 원소가 많은 행이나 열을 택하는 것이 좋다.

2. 삼각행렬 

- 상삼각행렬 : 주대각선을 기준으로 대각선 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 정사각행렬

- 하삼각행렬 : 주대각선을 기준으로 대각선 위쪽 항들의 값이 모두 0인 정사각행렬

Th2.2 > 행렬 A (n x n)가 삼각행렬일 때, A의 행렬식은 대각원소들의 곱이다.

det(A) = a11 x a22 x ... x ann

Th2.3 > 대각행렬의 행렬식은 대각원소들의 곱이다.

대각행렬은 상삼각행렬이면서 하삼각행렬이다. 따라서 Th2.2가 성립한다.

3. 행렬식의 성질

Th2.4 > 전치행렬 AT의 행렬식은 원래 행렬 A의 행렬식과 같다.

det(A) = det(AT)

전치해도 마주보는 값은 동일하기 때문이다.

Th2.5 > 행렬 A가 0만으로 이루어진 행 또는 열을 갖고 있으면 det(A) = 0이다.

<행렬의 기본 연산>

1) 두 행을 서로 교환

2) 한 행에 0이 아닌 실수를 곱한다.

3) 한 행에 0이 아닌 실수를 곱하여 다른 행에 더한다.

(행을 열로 바꾼 것도 기본연산)

Th2.6 (행을 열로 바꾸어도 모두 성립)

> A의 두 행을 교환하여 행렬 B 를 얻었을 때  det(B) = -det(A)   → 1연산

> A의 한 행에 상수 c를 곱하여 B를 얻었을 때  det(B) = c det(A)  → 2연산

> A의 한 행에 어떤 상수를 곱하여 다른 행에 더해서 B를 얻었을 때  det(B) = det(A) → 3연산

Th2.7 > 행렬 A의 두 행(열)이 같거나 한 행(열)이 다른 행의 상수배이면 det(A) = 0이다.

행렬식을 구할 때 기본연산을 활용하여 원소값이 0인 원소를 많이 만들거나 삼각행렬 / 대각행렬을 만드는 것이 유리하다.

Th2.8 > 행렬 A (n x n)와 B(n x n)가 있을 때, det(AB) = det(A) det(B) 이다.

수업출처) 숙명여자대학교 통계학과 '통계수학' 수업, 윤재은 교수님

1. 행렬

: 행과 열로 구분지어진 숫자들의 단순한 직사각형 배열

A의 (i, j)성분은 a𝑖𝑗로 표시

행렬의 표시는 위와 같이 원소를 일일히 보여주는 방식과 아래와 같이 (i, j) 성분에 대한 식을 제시하는 방식이 있다.

a𝑖𝑗 = i + j2 - 1, i = 1, 2, j = 1, 2

2. 기본이 되는 몇가지 행렬

2-1. 정방행렬 : 행의 수와 열의 수가 같은 행렬

2-2. 영행렬 : 원소가 전부 0인 행렬 (Φ)

2-3. 대각행렬 : 정방행렬에서 모든 비대각원소가 0인 행렬

2-4. 단위행렬 (항등행렬) (E or I) : 대각행렬에서 대각원소의 값이 전부 1인 행렬

2-5. 전치행렬 : 행렬 A의 행과 열을 서로 바꾸어 놓은 행렬 (A' or AT)

2-6. 대칭행렬 : A = AT를 만족하는 정방행렬, 주대각원소를 중심으로 원소들이 대칭구조를 갖고 있는 정방행렬

3. 벡터 : 한 개의 열 또는 행으로 이루어진 행렬

3-1. 열벡터 (x) : n x 1 인 행렬 

3-2. 행벡터 (xT) : 1 x m 인 행렬 

3-3. 영벡터 : 모든 원소가 0인 벡터

특징

- 기본적으로 행렬은 열벡터로 표현한다.

- m차원 열벡터와 n차원 행벡터의 곱의 결과는 m x n 행렬이다.

- n차원 행벡터와 n차원 열벡터의 곱의 결과는 실수이다. (스칼라)

- xTy = yTx 가 성립하며, x · y = xTy = yTx 를 두 벡터의 내적이라고 정의한다.

4. 행렬의 연산

4-1. 두 행렬 A, B가 같을 조건

• A와 B의 크기가 같다.
• 같은 위치에 있는 원소들이 모두 동일하다.

4-2. 행렬의 합과 차

조건 : 두 행렬이 같은 크기여야 한다.

A (m x n) = (a𝑖𝑗), B (m x n) = (b𝑖𝑗) 에 대해

- A + B = (a𝑖𝑗 + b𝑖𝑗)

- cA = (ca𝑖𝑗)

- (-1)A = -A

- A - B = (a𝑖𝑗 - b𝑖𝑗)

Th 1.2 > (A + B)T = AT + BT

4-3. 행렬의 곱

조건 : AB가 정의되기 위해서는 A의 열의 수와 B의 행의 수가 같아야 한다.

ex) A (2 x 3), B (3 x 5) → AB (2 x 5)

AB의 𝑖𝑗 원소는 A의 𝑖번째 행과 B의 𝑗번째 열의 곱으로 계산한다.

특징

- AB ≠ BA 

- AB가 존재하더라도 BA가 존재하지 않을 수 있다.

- AB = O 임에도 불구하고 A ≠ O 이고 B ≠ O 인 행렬 A, B가 존재한다.

- AB의 (𝑖, 𝑗) 원소는 A의 𝑖번째 행을 나타내는 벡터와 B의 𝑗 번째 열을 나타내는 벡터의 내적이다.

Th 1.3 > 행렬 A, B, C가 아래 연산이 성립되는 크기를 가질 때 다음의 규칙이 성립한다.

> A + B = B + A

> A + (B + C) = (A + B) + C

> A(BC) = (AB)C

> A(B + C) = AB + AC

> (A + B)C = AB + BC

Th 1.4

> (AB)T = BT AT 

> (ABC)T = CT BT AT

Th 1.5 > ATA = O 또는 AAT = O 이면 A = O

5. 역행렬

: 정방행렬 A에서 AB = BA = I 가 성립되는 정방행렬 B가 존재하면 B를 A의 역행렬이라 하고, B = A(−1) 이라고 표시한다.

특징

- 모든 행렬이 역행렬을 갖고 있는 것은 아니며, 존재하면 유일하다.

- AB = I 가 성립하면 BA = I 도 성립한다.