gnuykob_sw

수업출처) 숙명여자대학교 통계학과 '통계수학' 수업, 윤재은 교수님

1. n차원 벡터, 벡터합, 내적

- 스칼라 : 크기만 있고 방향을 가지지 않는 양

- 벡터 : 크기와 방향 모두 가지고 있는 양

** ℝⁿ 의 두 벡터 x = (x1, x2, ..., xn)' 과 y = (y1, y2, ..., yn)' 의 내적은

x · y = Σ x𝑖 y𝑖 = x1y1 + ... + xnyn = xTy = yTx

** 벡터 x = (x1, x2, ..., xn)'의 길이 (노음, norm)은 ||x||로 표시하고, ||x|| = √(x · x) = √(Σx𝑖²) 이다.

** 두 벡터 x = (x1, x2, ..., xn)' 과 y = (y1, y2, ..., yn)' 사이의 거리

d(x, y) = ||x - y|| = √(x - y) (x - y) = √(Σ(x𝑖 - y𝑖)²)

** 내적의 기하학적 의미 x · y = ||x|| ||y|| cosθ

** x · y = 0 이면 두 벡터는 직교 (x ㅗ y)

** 두 벡터가 이루는 각을 θ라고 하면 cosθ = x · y / ||x|| ||y||

** 임의의 n차원 벡터에 대해 다음이 성립한다. <x, y> = x · y

> <x, y>² ≤ <x, x> <y, y>

> ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

2. 선형독립과 선형종속

: x1, x2, ..., xm이 n차원 벡터들이며, a1, a2, ..., am 이 스칼라일 때

u = a1 x1 + ... + am xm 형태의 합을 x1, x2, ..., xm 의 선형결합 이라고 한다.

어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 얻어질 수 있는지 규명하는 것이 중요하다.

ex) 3차원 벡터

x1 = (3, 0, 1)', x2 = (2, -1, 3)', x3 = (5, 0, 4)' 의 선형결합으로 y = (1, 3, -2)' 표현하면

y = (-1) x1 + (-3) x2 + 2 x3

벡터들의 집합 S = {x1, x2, ..., xm}에서 a1 x1 + ... + am xm = 0 을 만족하는 a𝑖 들의 값이 a1 = a2 = ... = 0만 존재한다면 S는 선형독립이라고 한다.

만약 적어도 하나는 0이 아닌 a𝑖 가 존재한다면 S는 선형종속이라고 한다.

즉, S가 선형독립이면 어떠한 벡터도 다른 벡터들의 선형결합으로 표시될 수 없다. 

S가 선형종속이면 어느 한 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 표시될 수 있다.

이를 규명할 때에는 a1 x1 + ... + am xm = 0 형태로 놓고 a𝑖에 대해 연립방정식을 풀면 된다.

a𝑖가 모두 0이 나오면 선형독립인 것이고, a𝑖끼리의 관계식이 나온다면 선형종속인 것이다.

Th4.1 > 두 개 이상의 벡터로 구성된 벡터 집합 S = {x1, x2, ..., xm} 이

> 선형종속이기 위한 필요충분조건은 S에 속하는 벡터 중 적어도 하나의 벡터가 다른 벡터의 선형결합으로 표현 가능한 것이다.

> 선형독립이기 위한 필요충분조건은 S에 속하는 어떤 벡터도 다른 벡터의 선형결합으로 표현될 수 없는 것이다.

Th4.2 > 두 벡터만을 갖는 집합이 선형종속이기 위한 필요충분조건은 적어도 이들 벡터 중 하나가 다른 벡터의 실수배로 되는 것이다.

* n차원 벡터를 선형독립이 유지되도록 모았을 때 최대한 모을 수 있는 개수는 n개이다.

* n차원 벡터를 n+1개 이상 모으면 무조건 선형종속이 된다.

3. 벡터공간 

V 를 벡터들을 모아놓은 집합이라고 할 때, V의 모든 원소 x, y에 대해 다음의 두 성질이 만족하면 V를 벡터공간이라고 한다.

(v1)  x ∈ V, y ∈ V → x + y ∈ V      : 덧셈에 대해 닫혀있다

(v2)  x ∈ V → ax ∈ V                     : 곱셈에 대해 닫혀있다

ex) V = {(x, y, z) : x + y + z = 0} 

(v1)  V1 = (x1, y1, z1)' ∈ V, V2 = (x2, y2, z2)' ∈ V

V1 + V2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)'

(x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 ∈ V

(v2) a(x1 + y1 + z1) = 0 ∈ V

벡터공간 V = R³의 임의의 원소 z = (z₁ z₂ z₃)T가 x₁ x₂ ·x₃

벡터공간을 생성하면서 선형독립인 벡터들의 모임을 "기저"라고 한다. 

벡터공간의 기저는 유일하지 않다.

수업출처) 숙명여자대학교 통계학과 '통계수학' 수업, 윤재은 교수님

1. 행렬식

: 정사각행렬에 실수값을 대응시키는 함수

1-1. 1차원 행렬 행렬식 

det(a11) = a11

1-2. 2차원 행렬 행렬식

1-3. n차원 행렬의 행렬식

소행렬식과 여인자를 활용하여 라플라스 전개를 통해 구한다.

- 소행렬식 : A의 𝑖번째 행과 𝑗번째 열을 지운 뒤에 남는 행렬을 M𝑖𝑗라고 하면, 이것의 행렬식 det(M𝑖𝑗)를 a𝑖𝑗의 소행렬식이라고 한다.

- 여인자 : (-1)^(𝑖𝑗) |M𝑖𝑗| 를 a𝑖𝑗의 여인자라고 한다.

Th2.1 > 행렬식의 라플라스 전개

행렬 A (n x n) = (a𝑖𝑗)의 행렬식은 다음과 같이 계산될 수 있다.

> (𝑖번째 행의 각 원소 (a𝑖𝑗))와 그 원소의 여인자 ((-1)^(𝑖𝑗) |M𝑖𝑗|) 를 곱해서 더한 것

> (𝑗번째 행의 각 원소 (a𝑖𝑗)와 그 원소의 여인자 ((-1)^(𝑖𝑗) |M𝑖𝑗|) 를 곱해서 더한 것

둘 중 하나를 선택해서 계산하면 되고, 어떤 행이나 열을 택해서 라플라스 전개로 행렬식을 구해도 같은 값이 나온다.

따라서 계산이 쉬운 행이나 열을 택하면 되고, 특히 원소값이 0인 원소가 많은 행이나 열을 택하는 것이 좋다.

2. 삼각행렬 

- 상삼각행렬 : 주대각선을 기준으로 대각선 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 정사각행렬

- 하삼각행렬 : 주대각선을 기준으로 대각선 위쪽 항들의 값이 모두 0인 정사각행렬

Th2.2 > 행렬 A (n x n)가 삼각행렬일 때, A의 행렬식은 대각원소들의 곱이다.

det(A) = a11 x a22 x ... x ann

Th2.3 > 대각행렬의 행렬식은 대각원소들의 곱이다.

대각행렬은 상삼각행렬이면서 하삼각행렬이다. 따라서 Th2.2가 성립한다.

3. 행렬식의 성질

Th2.4 > 전치행렬 AT의 행렬식은 원래 행렬 A의 행렬식과 같다.

det(A) = det(AT)

전치해도 마주보는 값은 동일하기 때문이다.

Th2.5 > 행렬 A가 0만으로 이루어진 행 또는 열을 갖고 있으면 det(A) = 0이다.

<행렬의 기본 연산>

1) 두 행을 서로 교환

2) 한 행에 0이 아닌 실수를 곱한다.

3) 한 행에 0이 아닌 실수를 곱하여 다른 행에 더한다.

(행을 열로 바꾼 것도 기본연산)

Th2.6 (행을 열로 바꾸어도 모두 성립)

> A의 두 행을 교환하여 행렬 B 를 얻었을 때  det(B) = -det(A)   → 1연산

> A의 한 행에 상수 c를 곱하여 B를 얻었을 때  det(B) = c det(A)  → 2연산

> A의 한 행에 어떤 상수를 곱하여 다른 행에 더해서 B를 얻었을 때  det(B) = det(A) → 3연산

Th2.7 > 행렬 A의 두 행(열)이 같거나 한 행(열)이 다른 행의 상수배이면 det(A) = 0이다.

행렬식을 구할 때 기본연산을 활용하여 원소값이 0인 원소를 많이 만들거나 삼각행렬 / 대각행렬을 만드는 것이 유리하다.

Th2.8 > 행렬 A (n x n)와 B(n x n)가 있을 때, det(AB) = det(A) det(B) 이다.