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수업출처) 숙명여자대학교 통계학과 '통계수학' 수업, 윤재은 교수님

1. 역행렬

: 정방행렬 A 에 대해서 AB = BA = I 를 만족하는 정방행렬 B, A⁻¹로 표시

역행렬이 존재하기 위한 조건은 A가 정방행렬이면서 det(A) ≠ 0이어야 한다.

* 2차 정방행렬 역행렬 구하는 방법

A = [a b; c d]

|A| = ad - bc

A⁻¹ = 1 / (ad - bc) [d -b; -c a]

2. 역행렬 성질

Th3.1 > 정방행렬 A의 역행렬이 존재하는 경우 그 역행렬은 유일하다.

Th3.2 > A의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건은 |A| ≠ 0이다.

Th3.3 > A가 가역행렬이면 A⁻¹ 역시 가역이며 (A⁻¹)⁻¹ = A 이다.

** 가역 = 정칙 = 역행렬 존재

Th3.4 > (A⁻¹)T = (AT)⁻¹

Th3.5 > A와 B가 각각 정칙이면 AB 역시 정칙이며 다음이 성립한다.

> (AB)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹

> (ABC)⁻¹ = C⁻¹ B⁻¹ A⁻¹

Th3.6

> A가 가역행렬일 때 kA도 가역행렬이고 (kA)⁻¹ = 1/k A⁻¹ 이다.

> A가 가역행렬일 때 Aⁿ 도 가역행렬이고, (Aⁿ)⁻¹ = (A⁻¹)ⁿ 이다.

Th3.7> A가 정칙일 때, PA = QA 이면 P = Q 이다.

Th3.8 > Ax = b 에서 A가 정칙이면 x = A⁻¹ b 이다.

→ 연립방정식의 풀이에 활용할 수 있음

3. 행렬의 분할

: 행렬을 블록화하여 간단히 나타낼 수 있다.

* 분할행렬의 전치행렬은 각각의 분할된 행렬을 전치한 것과 같다.

* 분할행렬의 곱